אלישיב נולד בארה"ב, עלה לארץ בגיל שנתיים וגדל בבית אל. מגיל צעיר הוא קיבל חינוך מוזיקלי ע"י אמו שהיה מורה למוסיקה ובימי התיכון התחבר אף יותר לסצינת המוסיקה, למד לנגן על כלים רבים, סיים מגמת מוזיקה בהצלחה ובהמשך הקים את ההרכב "רוח צפונית". אחרי שירותו כלוחם בחטיבת הנח"ל ולאחר שליחות לארה"ב חידש עם חבריו את הלהקה ולאורך תשע השנים האחרונות הם מופיעים באירועים רבים. את הלהקה חולק אלישיב עם חברו המוסיקאי אלנתן שלום, שם הוא שר ומנגן על גיטרה ומדי פעם גם בסקסופון. כיום הוא מתגורר בפרדס חנה כאשר בשנה החולפת החל אלישיב לעבוד על אלבום סולו עם המפיקים אוריאל וינברגר ועדי רותם (עידן רייכל, חנן בן ארי, דקלה, בניה ברבי, קרן פלס ועוד) . אלישיב : "יש משהו דווקא ברגעים האלה של לבד, שאז יוצאות להן מילים ומנגינות שמחברות אותי למשהו גדול ומזכירות לי שאני לא לבד. הלוואי שמי שישמע את השיר ירגיש את אותו הדבר, שהוא או היא, לא לבד ושאין דבר כזה בן של אף אחד".